Как усидеть в «седле» (история одной теоремы)

Если люди отказываются верить в простоту математики, то это только потому, что они не понимают всю сложность жизни. Януш фон Нейман Сегодня поговорим о причинах и математике. Как известно, причина - это логическое начало того или иного действия, его основная и промежуточная предпосылка. У любого действия есть причина и есть следствие. Так вот, если отбросить психологию, то довольная жена является таким же следствием, как и недовольная. И в том и другом случае это результат последовательности ваших действий. В данном случае – игровых.

Удержаться в плюсе – задача куда более сложная, чем выиграть один раз. Когда речь идет о стабильности, то ваш азарт не имеет особого значения. Пусть на азарте можно выйти в плюс, играя турнир по безлимитному холдему. Если это турбо, то еще проще. Однако что делать, если речь идет, например, о кэше? Или о такой игре, как омаха, в которой бешенство никому еще не шло на пользу?

Попробуем разобраться в этом с точки зрения математика. Есть такая книга – «Теория игр и экономическое поведение». Впервые она была издана в 1944 году (русское издание увидело свет в 1970-м). Считается, что авторы этой книги, американский математик венгерского происхождения Януш фон Нейман и американский математик немецкого происхождения Оскар Моргенштерн, писали для экономистов. Может и так. Но доподлинно известно, что основой для книги послужила опубликованная Нейманом в 1924 году статья «К теории стратегических игр», в которой он доказывает знаменитую теорему о минимаксе, ставшую краеугольным камнем созданной позже теории игр.

Януш фон Нейман опирался в своей работе, конечно же, на покер. Кстати, существует анекдот, согласно которому понимание теоремы мало помогло самому Нейману в игре. В 1944 году в Лос-Аламосе он объяснил эту теорию физику Николасу Метрополису. А затем в течение нескольких минут проиграл ему 10 долларов. С половины выигрыша Метрополис купил знаменитую книгу, наклеил на нее вторые пять долларов и заставил автора написать об истории этого проигрыша на обложке.

Однако вернемся к теореме. Если два человека играют за одним столом, то максимум, что может выиграть один – весь банк другого. Это на поверхности. На втором уровне теорема сообщает нам, что в каждой антагонистической игре (читай heads-up) гарантированно существуют оптимальные стратегии.

То есть в любой игре есть оптимальная стратегия для вас и вашего противника. Более того, есть некая точка, в которой эти стратегии сходятся, соединяясь в одну равно оптимальную для вас обоих.

Все сталкивались с ситуацией, когда рука проходит на чеках. Вот это и есть стратегия, оптимальная для каждого антагониста. А точка, в которой соединились оптимальные стратегии, называется седловой.

А вот теперь, как говорил один мой знакомый шулер, внимательно следите за руками. Потому как в первую очередь вам скажет за это спасибо жена.

Седловая точка определяет стратегию вашей игры таким образом, чтобы позволить выиграть максимальное количество денег при минимальном риске.

Самый примитивный пример: идя на чеках, каждый из антагонистов в случае проигрыша теряет по минимуму. Выигрывает тоже по минимуму, однако этот выигрыш является максимальным при наиболее низких игровых рисках.

Нормальный человек удовлетворился бы этим и успокоился. Очевидная штука: кто не рискует, тот не пьет шампанское. Но мы – игроки в покер, которые не боятся вспоминать математику, а значит, способны мыслить нестандартно. Развернем этот постулат на 180 градусов.

Какое количество денег является для вас наиболее удовлетворительным минимумом? Сколько вам нужно выиграть, чтобы вы остались довольны: 10 долларов, 20, может быть, 100?

Допустим, что эта сумма составляет 10 долларов. Значит, чтобы избрать оптимальную стратегию, вам необходимо гарантировать выигрыш этой суммы. Сделать это, кстати, совсем несложно. Любой игрок в покер со стажем больше месяца знает, на сколько процентов в среднем за игру он выходит в плюс. Допустим, вы всегда проигрываете. Но перед этим неизбежно поднимаетесь, скажем, на три процента от общей величины стека. Дальше – школьная программа. Вы делаете неизбежный выигрыш минимально удовлетворительным.

То есть чтобы получить удовлетворение, дающее возможность прекратить игру, вам нужно, чтобы 10 долларов составляли три процента от вашего стека. Такой стек будет равен 300 долларам.

Несмотря на то, что эта система, безусловно, работает, она же и бросает нас в пропасть. Первым и главным препятствием всегда будет оставаться жадность. Некоторые говорят об азарте, но давайте называть вещи своими именами. Ведь здесь нет никаких подтасовок: каждый из нас действительно чуть поднимается, перед тем как проиграться в пух и прах. Но вот вопрос: даже зная о том, что можно, особо не напрягаясь, иметь проценты больше банковских (нигде нет 3% в день, я проверял), сможем ли мы остановиться? Сомневаюсь.

А что со ставками? Очень сложно психологически преодолеть робость перед столами, на которых играется средняя (а то и не средняя зарплата). Но справедливости ради могу сказать, что для успешной игры со стеком 300 долларов блайнды на холдеме должны быть 1-2. Это под силу очень немногим. Мы не привыкли работать с такими деньгами, и в силу отсутствия опыта работы, мы их боимся. И проигрываем.

Как видите, нюансов столько, что меда в бочке уже не видно. И тем не менее теорема Неймана и Моргенштерна о минимаксе дает нам крайне полезную информацию.

Во-первых, вы теперь точно знаете и можете объяснить теще, отчего стек должен равняться, например, 300 ББ. Все очень просто, потому что средний уровень игрока подразумевает стабильный выигрыш при выборе оптимальной стратегии около 3 процентов.

Во-вторых, вы ухватили суть как минимум двух серьезных исследований, всколыхнувших научный, а вслед за ним и игровой мир в 1950-х.

В-третьих, вы можете доказать жене, почему играть на 300 долларов выгодней, чем на 10: «Потому что, дорогая, согласно теории игр так я меньше проиграю» (см. объяснение выше).